TỔ HỢP XÁC SUẤT
BÀI GIẢNG QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm vững quy tắc cộng, quy tắc nhân.
+ Hiểu và phân biệt được các khái niệm: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
 Kĩ năng
+

Vận dụng được quy tắc cộng và nhân cho các bài toán đếm.

+

Giải được các dạng toán đếm liên quan đến tổ hợp, chỉnh hợp.

+

Giải được phương trình liên quan đến công thức tổ hợp, chỉnh hợp.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Các quy tắc đếm

Mở rộng: Một công việc được hoàn thành

a) Quy tắc cộng

bởi
Định nghĩa

một

trong

k

phương

án

A1 , A2 , A3 ,..., Ak . Nếu phương án A1 có m1

Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một cách thực hiện, phương án A có m cách
2
2
trong hai phương án A hoặc B . Nếu phương án A có m
thực hiện,…phương án Ak có mk cách thực
cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và
hiện và các cách thực hiện của các phương
không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì
án trên không trùng nhau thì công việc đó
công việc đó có m  n các

Bài giảng quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

BÀI GIẢNG NHỊ THỨC NIU-TƠN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Biết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.
+ Biết tính chất các số hạng.
 Kĩ năng
+ Thành thạo khai triển nhị thức Niu-tơn, tìm số hạng, hệ số chứa x trong khai triển.
+ Tính tổng dựa vào khai triển nhị thức Niu-tơn.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

Hệ quả:

Với mọi số thực a, b và mọi n   ta có

Với a  b  1 , ta có 2 n  Cn0  Cn1  ...  Cnn .

a  b

n

n

Với a  1; b  1 , ta có:

  Cnk a n  k b k
k 0

0  Cn0  Cn1  ...   1 Cnk  ...   1 Cnn
k

n 1

 C a  C a b  ...  C a
0
n

n

1
n

k
n

nk

b  ...  C b
k

n
n

n

n

Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường
gặp

Quy ước: a 0  b 0  1 .
Tính chất
a) Số các số hạng của khai triển bằng n  1 .
b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0,
số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Tổng các số mũ của a
và b trong mỗi số hạng bằng n.

 x  1

n

 Cn0 x n  Cn1 x n 1  ...  Cnn 1 x  Cnn .

1  x 

n

 Cn0  Cn1 x  ...  Cnn 1 x n 1  Cnn x n .

 x  1

n

 Cn0  C

Bài giảng nhị thức Niu-tơn

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu được khái niệm biến cố và phân biệt được các biến cố giao, biến cố hợp, biến cố đối và
biến cố độc lập.
+ HIểu được định nghĩa xác suất của biến cố và tính chất của xác suất.
+ Nắm vững công thức cộng xác suất và công thức nhân xác suất.
 Kĩ năng
+ Tính được xác suất của biến cố trong các bài toán xác suất cổ điển.
+ Vận dụng quy tắc tính xác suất trong các bài toán thực tế.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên

Ví dụ:
Phép thử: Khi ta tung một đồng xu có 2

Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí mặt, ta hoàn toàn không biết trước được kết
nghiệm mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc quả của nó.
dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử Tuy nhiên, ta lại biết chắc chắn rằng đồng
xu rơi xuống sẽ ở một trong 2 trạng thái:

đó.
Không gian mẫu

sấp (S) hoặc ngửa (N).

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử Không gian mẫu c

Bài giảng xác suất của biến cố

CHỦ ĐỀ HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Hoán vị
 Hoán vị không lặp
- Một tập hợp gồm n phần tử (với n  1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi
là một hoán vị của n phần tử.
- Số các hoán vị của n phần tử là Pn  n !
 Hoán vị lặp
- Cho k phần tử khác nhau: a1 , a 2 ,..., a k . Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1 phần tử a1 , n2 phần
tử a2 , ..., nk phần tử ak  n1  n2  ...  nk  n  theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và
kiểu  n1 , n 2 ,..., nk  của k phần tử.
- Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu  n1 , n 2 ,..., nk  của k phần tử là Pn  n1 ; n2 ; n3 ... 

n!
n1 !n2 !...nk !

 Hoán vị vòng quanh
- Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một
hoán vị vòng quanh của n phần tử.
 Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là Qn   n  1!
2) Chỉnh hợp
 Chỉnh hợp không lặp
 Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A 1  k  n  theo một thứ tự nào đó được
gọi là mộ

Tài liệu chủ đề hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp

CHỦ ĐỀ XÁC SUẤT
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Phép thử và Không gian mẫu
* Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) và một phép thử mà
- Kết quả của nó không đoán trước được.
- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.
* Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể xẩy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của
phép thử đó và ký hiệu là  .
2) Biến cố
•

Một biến cố A (còn gọi là sự kiện A) liên quan tới phép thử T là biến cố mà việc xẩy ra hay không
xẩy ra của nó còn tùy thuộc vào kết quả của T.
Mỗi kết quả của phép thử T làm cho biến cố A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.

•

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu bởi A . Để đơn giản, ta có thể dùng chính chữ
A để kí hiệu tập hợp các kết quả thuận lợi cho A.
Khi đó ta cũng nói biến cố A được mô tả bởi tập A.

•

Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T. Biến cố chắc chắn được mô tả
bởi tập  và được ký hiệu là  .

•

Biến cố không thể là biến cố 

Tài liệu chủ đề xác suất

CHỦ ĐỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Công thức nhị thức Niu-tơn
n

Ta có  a  b   Cn0 .a n  Cn1 .a n 1.b  ...  Cnn 1.a.b n 1  Cnn .b n   Cnk .a n  k .b k .
n

k 0

2. Một số kết quả quan trọng
 Với a  b  1, ta có công thức 2 n  Cn0  Cn1  ...  Cnn 1  Cnn .
 Với a  1; b  x , ta có công thức 1  x   Cn0  Cn1 .x  Cn2 .x 2  ...  Cnn .x n
n

 Với a  1; b   x, ta có công thức 1  x   Cn0  Cn1 .x  Cn2 .x 2  Cn3 .x3  ...   1 Cnn .x n
n

n

 Với a  1; b  1, ta có 0n  Cn0  Cn1  ...   1 Cnk  ...  1 Cnn .
k

n

3) Chú ý
Trong biểu thức ở vế phải của khai triển  a  b 

n

- Số các hạng tử là n  1
- Số hạng thứ k  1 của khai triển là Tk 1  Cnk .a n  k .b k
- Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0; số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ
của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a 0  b 0  1 );
- Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối đều bằng nhau.
m
 m n
1
mn a
a
.
a

a
;
 a mn  a n 

n
a
an

n

- Các công thức lũy thừa thường dùng:  a m

Tài liệu chủ đề nhị thức Niu-tơn

TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC SẮC VỀ TỔ HỢP
Câu 1. Cho triển khai ( x − 1) + x ( x + 1)
2n

n

Biết

a
k =0

2k

2 n −1

= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a2 n x 2n với n là số tự nhiên và n  3 .

= 768 , tính a5 .

A. a5 = −378

B. a5 = −252

D. a5 = 378

C. a5 = −126
Lời giải:

n

 f (1) = a0 + a1 + a2 + ... + a2 n
Ta có 
⎯⎯
→ f (1) + f ( −1) = 2. a2 k = 1536
k =0

 f ( −1) = a0 − a1 + a2 − ... + a2 n

→ n = 5 ⎯⎯
→ hệ số a5 = C105 ( −1) + C94 = −126 . Chọn C.
Hay 22 n−1 + 22 n = 1536 ⎯⎯
5

Câu 2. Gọi S là tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x trong khai triển nhị thức

1

P ( x) =  x + 
x


2018

1 1009
. Tính S + C2018
.
2

B. S = 22017

A. S = 22016

C. S = 22018

D. S = 22019

Lời giải:

1

Ta có  x + 
x


2018

2018

k
=  C2018
.x 2018− 2 k .
k =0

Để lũy thừa với số mũ nguyên dương thì 2018 − 2k  0  k  1009 .
0
1
1008
Suy ra S = C2018
.
+ C2018
+ ... + C2018

1 1009
1 1009
0
1
1008
= C2018
+ C2018
+ ... + C2018
+ C2018
Suy ra S + C2018
2
2

1 1009 
1 1009
1 1009

Cn

Tuyển chọn một số bài toán đặc sắc về tổ hợp

CHỦ ĐỀ QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 Quy tắc cộng
Một công việc T được hoàn thành bởi cách thức khác nhau.
- Cách thức 1 có m cách hoàn thành.
- Cách thức 2 có n cách hoàn thành (không trùng lặp với cách nào ở trên)
- Cách thức 3 có p cách hoàn thành (không trùng lặp với cách nào ở trên)
…
Khi đó, để hoàn thành công việc T sẽ có m  n  p cách.
Đây được gọi là Quy Tắc Cộng.
 Quy tắc nhân
Một công việc T được hoàn thành bởi nhiều công đoạn liên tiếp.
- Công đoạn 1 có m1 cách hoàn thành.
- Công đoạn 2 có m2 cách hoàn thành.
- Công đoạn 3 có m3 cách hoàn thành.
…
Khi đó, để hoàn thành công việc T sẽ có m1.m2 .m3 ... cách.
Đây được gọi là Quy Tắc Nhân.
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy
bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao
nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B ?
A. 20.

B. 300.

C. 18.

D. 15.

Lời giải
 Nếu đi bằng

Tài liệu chủ đề quy tắc cộng và quy tắc nhân

CHỦ ĐỀ CÁC DẠNG BÀI TOÁN ĐẾM
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ CÓ YẾU TỐ CHIA HẾT
Phương pháp giải:
Một số dấu hiệu chia hết cần lưu ý:


Số n chia hết cho 2 khi chữ số tận cùng của nó là 0, 2, 4, 6, 8. Ví dụ: 24; 508…



Số n chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Ví dụ: 126; 540…



Số n chia hết cho 4 khi 2 chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 4. Ví dụ: 116; 544…



Số n chia hết cho 5 khi chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5. Ví dụ: 80, 205…



Số n chia hết cho 6 khi nó đồng thời chia hết cho 2 và 3.



Số n chia hết cho 8 khi 3 chữ số cuối cùng của nó phải chia hết cho 8.



Số n chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.



Số n chia hết cho 10 khi chữ số tận cùng của nó là 0.



Số n chia hết cho 12 khi nó đồng thời chia hết cho 3 và 4.



Số n chia hết cho 15 khi nó đồng thời chia hết cho 3 và 5.



Số n chia hết cho 20 khi hai chữ số tận cùng của nó là 00; 20; 40; 60 và 80



Số n chia hết cho 25 khi hai chữ số tận cùng của nó 

Các dạng bài toán đếm

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tổ Hợp Xác Suất Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tổ Hợp Xác Suất Nâng Cao

TỔ HỢP XÁC SUẤT
A – LÝ THUYẾT CHUNG
I. QUY TẮC ĐẾM
Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động X hoặc Y . Nếu
hành động X có m cách thực hiện, hành động Y có n cách thực hiện và không trùng với bất
cứ cách nào của hành động X thì công việc đó có m  n cách thực hiện
Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì
n  A  B   n  A  n  B 
Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn bất kì thì

n  A  B   n  A  n  B   n  A  B 
Mở rộng: Nếu A1 , A2 ,... An là các tập hợp hữu hạn, đôi một không giao nhau thì

n  A1  A2  ...An   n  A1   n  A2   ...  n  An 
Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp X và Y . Nếu hành
động X có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách thực

Trắc nghiệm nâng cao tổ hợp và xác suất – Đặng Việt Đông

EBOOK ĐƯ  C LATEX VÀ PHÁT HÀNH MI  N PHÍ  Nh    Th  c  Special Edition Nh    Th  c 

Nhị thức Newton và ứng dụng – Nguyễn Minh Tuấn

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán   T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607   Page - 113 -  Chuyên đề  Bài 1. NHỊ THỨC NEWTON    I. Kiến thức cơ bản cần nắm vững     Nhị thức Newton là khai triển tổng (hiệu) lũy thừa có dạng:  0   1   1   2   2   2   1   1 0  (   )   .   .   .  n n   k   n   k   k   n   n   n   n   n   n   n n   n   n   n   n   n k  a   b   C   a   b   C a   C a   b   C a   b   C   ab   C b              =  +   =   =   +   +   + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +   +      Nhận xét trong khai triển nhị thức:  +   Trong khai triển   (   ) n  a   b    có   1 n   +   số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau:   k   n   k n   n  C   C     =   .  +   Số hạng tổng quát dạng:   1   .   . k   n   k   k n   n  T   C   a   b  +   =   và số hạng thứ   N   thì   1 k   N =      .  +   Trong khai triển   (   ) n  a   b    thì dấu đan nhau, nghĩa là   , +   rồi   ,    rồi   , +   .......  +   Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n.  +   Nếu trong khai triển nhị thức Niutơn, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như:  0   1   1   1   0   1     (1   )   2 . n   n   n   n   x   n   n n   n   n   n   n   n  x   C x   C x   C   C   C   C    =  +   =   +   + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +      +   + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +   =  1 0   1   1   0   1  (1   )   ( 1)   ( 1)   0.  x n   n   n   n   n   n   n n   n   n   n   n   n  x   C x   C x   C   C   C   C  =−         =      + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + −         + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + −   =     Công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (thường cho kết hợp với khai triển):  +   Hoán vị:   !   .(   1).(   2)...3.2.1, (   1). n  P   n   n n   n   n =   =            .  +   Chỉnh hợp:   (   ) !   ,   1   . (   )!  k n  n A   k   n n   k  =          .  +   Tổ hợp:   !   , (1   ) !.(   )!   !  k k   n n  A n C   k   n k   n   k   k  =   =          và   1   1 1  k   k   k n   n   n  C   C   C +   + +  +   =   .  II. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều cho trước 1)   Khai triễn dạng:   p   q   n  (ax   bx ) +   kết hợp với việc giải phương trình chứa   k   k n   n   n  A , C , P .  BT 1.   Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triễn của nhị thức: a)  12  1   ,   0. x   x x       +                    b)  5 3 2  1  x   x                        10.   c)  10  1 2   ,   0. x   x x                           8064.    d)  12  3 3  x x       +               e)  12  1   ,   0. x   x x       +      >              495.   f)   (   )  18 5  1 2   ,   0 . x   x x       +   >             6528.  g)  7 3 4  1   ,   0. x   x x       +      >             35.   h)  17 4   3 3   2  1   ,   0. x   x x       +                       24310.  BT 2.   Tìm hệ số của số hạng   M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức: a)   17  (2   3 )   . x   y    8   9   . M   x y =      9   8   9 17  3 .2 .   . C   b)   25  (   )   . x   y +   12   13   . M   x   y =      13 25   . C  c)   9  (   3) . x      4   . M   x =      5   5 9  3 .   . C   TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NEWTON 6Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán   T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607   Page - 114 -  d)   11  (1   3 )   . x    6   . M   x =      6   6 11  3 .   . C  e)   2   12  (3   )   . x   x    15   . M   x =      9   3 12  3 .   . C   f)   2   10  (   2 )   . x   x    16   . M   x =    g)  40 2  1   ,   0. x   x x       +                31   . M   x =      3 40   . C  h)  10 2   2   ,   0. x   x x                       11   . M   x =      3   3 10  2 .   . C   i)   3   2   7  (   ) . x   x    +   2   . M   x =      35.  j)  10  ,   0,   0.  x xy   xy   y y       +                   6   2   . M   x y =      45.  k)   2   3   5  (1   ) . x   x   x +   +   +   10   . M   x =    l)   5   2   10  (1   2 )   (1   3 )   . x   x   x   x    +   +   5   . M   x =    m)   4   5   6   7  (2   1)   (2   1)   (2   1)   (2   1) . x   x   x   x +   +   +   +   +   +   +   5   . M   x =     BT 3.   Tìm hệ số của số hạng thứ   n   trong khai triễn nhị thức, ứng với các trường hợp sau: a)  5  1   ,   0. x   x x       +                 4. n   =    b)   15  (3   )   . x    13. n   =      12285.  c)  15  1   ,   0. x   x x             >           6. n   =      5 15   . C  d)   25  (2   3 )   . x    21. n   =      5   20   20 25  2 .3   .   . C  BT 4.   Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện) a)   Cho số nguyên dương n thỏa mãn   3   1  5   . n   n  C   C =   Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của   3 4  2   1   ,   0 5  n  x   x n   x       +   >            ?      4 7   35. C   =  b)   Tìm hệ số của   4  x   trong khai triển biểu thức   3 2   ,   0,  n  x   x x                        biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức:   6   2 4   .   454 n n   n  C   n A     +   =   ?      8;   1792. n   =     c)   Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển:   3 5   28  1 .   ,   0,  n  x   x   x x       +                    biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện:   1   2   79 n   n   n n   n   n  C   C   C      +   +   =   ?      792.  d)   Cho   3   1 5 log   9   7  5   x  a      +  =   và  1 5  1 log ( 3   1) 5  5  x  b       +  =   . Tìm các số thực   , x   biết rằng số hạng chứa   3  a   trong khai triển Newton:   8  (   ) a   b +   bằng 224 .      1   2. x   x =      =  e)   Tìm các giá trị của   , x   biết trong khai triển   5 lg(10   3   )   (   2)lg 3  2   2  x   n x         +            có số hạng thứ 6 bằng 21 và   1   3   2  2 n   n   n  C   C   C +   =   .      0   2 x   x =      =   . f)   Cho n là số nguyên dương thỏa mãn:   2   2   2  3   2   3   15 n   n  C   A   n +   =   +   . Tìm số hạng chứa   10  x   trong khai triển nhị thức Newton:   3 2  3 2   ,   0  n  x   x x                        .      4   6   4   10 10   .2 .3 . C   x   . g)   Cho khai triển:   2 1   2  (1   2 )   ... n   n o   n  x   a   a x   a x   a x +   =   +   +   +   +   với   n           . Biết rằng   3   2  2014 a   a =   . Tìm n ?      6044 n   =   .

150 bài toán nhị thức Newton và xác suất – Lê Văn Đoàn

Mô tả tài liệu đang được cập nhật...

Bài giảng các ví dụ mẫu và bài tập tính xác suất

1 Giáo viên biên so    NGUY    -   https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979  M     XÁC   SU   Bài 1:   M  t    i ng    giáo viên g  m 8 th  y giáo d  y toán, 5 cô giáo d  y v  t lý và 3 cô giáo  d  y hóa h  c. S    giáo d  c c  n ch  n ra 4 ng  i      ch  m bài thi THPT qu  c gia, tính xác  su  t trong 4 ng  i    c ch  n ph  i có cô giáo và có      ba b    môn  H  ng d  n  + Ta có : ch  n ra 4 th  y cô t    16 th  y cô có   4 16 C   1820 =   (cách ch  n) +      ch  n    c 4 giáo viên ph  i có cô giáo và      ba b    môn, v  y có các tr  ng h  p sau:  * Tr  ng h  p 1:   chon 2 th  y toán, 1 cô lý, 1 cô hóa có   2   1   1  8   5   3 C C C   (cách ch  n)  * Tr  ng h  p 2:   chon 1 th  y toán, 2 cô lý, 1 cô hóa có   1   2   1  8   5   3 C C C   (cách ch  n)  * Tr  ng h  p 3:   chon 1 th  y toán, 1 cô lý, 2 cô hóa có   1   1   2  8   5   3 C C C   (cách ch  n) V  y xác su  t      ch  n    c 4 ng  i ph  i có cô giáo và có      ba b    môn là  2   1   1   1   2   1   1   1   2 8   5   3   8   5   3   8   5   3 4 16  C C C   C C C   C C C   3  P   C   7  +   +  =   =  Bài 2:   M  t h  p    ng 10 viên bi    , 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. L  y ng  u nhiên 4  viên bi. Tính xác su  t      các viên bi l  y    c      c    3 màu.  H  ng d  n  * T  ng s    viên bi trong h  p là 24. G  i      là không gian m  u. * L  y ng  u nhiên 4 viên trong h  p ta có   4  24 C   cách l  y hay n(      ) =   4  24 C   . G  i A là bi  n c    l  y    c các viên bi có      c    3 màu. Ta có các tr  ng h  p sau: +) 2 bi    , 1 bi vàng và 1 bi xanh: có   2   1   1 10   8   6   2160 C C C   =   cách +) 1 bi    , 2 bi vàng và 1 bi xanh: có   1   2   1 10   8   6   1680 C C C   =   cách +) 1 bi    , 1 bi vàng và 2 bi xanh: có   1   1   2 10   8   6   1200 C C C   =   cách Do     V  y, xác su  t bi  n c    A là   (   )   5040  (   )   47, 4%  (   )   10626  n A P A   n  =   =      Bài 3:   Có 30 t  m th         t    1    n 30. Rút ng  u nhiên 3 th  . Tính xác su  t      t  ng  các s     c ghi trên 3 th    chia h  t cho 3.  H  ng d  n  +      3 th    rút    c có t  ng chia h  t cho 3 thì 3 th       i có d  ng:   3k;3k   1;3k   2 +   +  + Ta th  y   {   } 1   3k   30, k   Z   k   1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9;10                , v  y lo  i th    3k có 10 th   + T  ng t    {   } 1   3k   1   30, k   Z   k   0;1; 2;3; 4;5; 6;7;8;9    +               , v  y lo  i th    3k   1 +   có 10 th   +   {   } 1   3k   2   30, k   Z   k   0;1; 2;3; 4;5; 6;7;8;9    +               , v  y lo  i th    3k   2 +   có 10 th   Nh    v  y:      t  ng các s     c ghi trên 3 th    chia h  t cho 3 thì ta có 4 TH sau: TH1: rút 3 th    3k có   3  10 C   cách TH2: rút 3 th    3k   1 +   có   3  10 C   cách TH3: rút 3 th    3k   2 +   có   3  10 C   cách TH4: rút 1 th    3k, 1 th    3k   1 +   , 1 th    3k   2 +   có   10.10.10   cách     :  3   3   3 10   10   10 3 30  C   C   C   10.10.10  p   C  +   +   + =2 Giáo viên biên so    NGUY    -   https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979  M     XÁC   SU   Bài 4:   M  t h  p ch  a   4   qu    c  u màu    ,   5   qu    c  u màu xanh và   7   qu    c  u màu vàng.  L  y ng  u nhiên cùng lúc ra   4   qu    c  u t    h  p      t sao cho   4   qu    c  u    c  l  y ra có      t qu    c  u màu      và không quá hai qu    c  u màu vàng  H  ng d  n  - S    cách l  y ra 4 qu    c  u b  t k    t    16 qu    c  u là   4 16 C   1820 =   cách. - G  i A là bi  n c        l  y    c có       m  t qu    c  u màu      và không quá hai qu   màu vàng” . Ta xét ba kh    n  ng sau: - S    cách l  y 1 qu     , 3 qu    xanh là:   1   3  4   5 C .C  - S    cách l  y 1 qu     , 2 qu    xanh, 1 qu    vàng là:   1   2   1  4   5   7 C .C .C  - S    cách l  y 1 qu     , 1 qu    xanh, 2 qu    vàng là:   1   1   2  4   5   7 C .C .C  Xác su  t c  a bi  n c    A là  1   3   1   2   1   1   1   2 4   5   4   5   7   4   5   7 4 16  C .C   C .C .C   C .C .C   37  p   C   91  +   + =   =   .  Bài 5:   Cho A là t  p các s    t    nhiên có 6 ch    s  . Tính xác su  t      l  y    c s    l    chia h  t  cho 9 trong t  p A.  H  ng d  n  + G  i s    6 5 4 3 2 1   a a a a a a   là s    có 6 ch    s    có    9.10   5   s    có 6 ch    s   + Do   (   )   9 9   6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1       a a a a a a a a a a a a   + + + + +   1   2   3   4   5   6 a a a a a a    là các s    100008;100017;100028;...;999999     Nh    v  y ta th  y các s    l    có 6 ch    s    chia h  t cho 9 l  p thành 1 c  p s    c  ng v  i:  (   )        = =   =   =  = =  18 50000 1 18 999999 ) 1 ( 999999 100017 1  d n n d n u u u  n n     có 50.0000 s    có 6 ch    s    chia h  t cho 9 V  y xác xu  t c  n tìm là   16  1  10 . 9  50000  5   =  Bài 6:   M  t tr  ng THPT có 7 th  y d  y toán, 6 th  y d  y Lý và 4 th  y d  y Hóa. S    giáo  d  c c  n ch  n t    tr  ng THPT      y      ch  m thi THPT qu  c gia 2015. Tính xác  xu  t      ch  n    c 5 th  y trong          b    môn.  H  ng d  n  + S    cách ch  n 5 th  y b  t kì trong 17 th  y là   5 17 C  +S    cách ch  n 5 trong th  y d  y Toán và Lý là   5 13 C  + S    cách ch  n 5 trong 11 th  y d  y Toán và Hóa là   5 11 C  + S    cách ch  n 5 trong 10 th  y d  y Toán và Hóa là   5 10 C  + S    cách ch  n 5 th  y ch    d  y Toán là   5 7 C  + S    cách ch  n 5 th  y ch    d  y Lý là   5 6 C     s    cách ch  n 5 th  y không có      3 b    môn:   5 7 5 6 5 10 5 11 5 13   C C C C C     + +  V  y s    cách ch  n có      c    3 b    môn là:   4214 ) (   5 7 5 6 5 10 5 11 5 13 5 17   =   + +    C C C C C C

74 bài toán xác suất chọn lọc – Nguyễn Hữu Biển

PHÂN   LOẠ   I   DẠ   NG   và  PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Chuyeân     TOÁN   11  Biên Hòa ,   Ngà y   15   thá   ng   08   năm   2017  TÀI   LIỆU L  U HÀNH NỘI BỘ    SƯU TẦM VÀ BIÊN SOẠNGv. ThS Nguy       0914449230 (zalo      facebook)  Gv. Lê Thị   Phượ ng      0976681372 (zalo      facebook)        0914449230 (Zalo      facebook)  1  V    01 : QUY T  C C  NG      QUY T   1.Quy t    :   M  t   công việc A được chia thành nhiề u   giai đoạ n   (g  n li    cách chọ n  công việc A là tích các giai đoạ n  2.Quy t  c c  ng :   M  t   công việc A được chia thành nhiề u   trườ ng h  p   thì số   cách chọn công việ c A  là tổng các trườ ng h  p (qui t  c c   BÀI TẬ P B | i 1 :   C  t    ng h    (tròn, vuông, elip) và   4 lo  a, kim lo  i, v  i). H  cách chọn 1 cái đồ ng h      Giải :  ................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................  B | i 2 :   B    6    o s    mi. H  i b  c    ng ph  c    n tr  ng ?     Giải :  ................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................  B | i 3 :   T    các chữ   s    1, 3, 5, 6, 7 ,8, 9   có thể   l  p bao   nhiêu :  a/ S    có 4 chữ   s    b/ S    có 4 chữ   s     i m   c/ S    ch  n g  m 4 ch    s     i m    d/ Số   l    g  m 4 ch    s    khác nhau     Giải :  ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................  PH  N 1 : Đ  I S    T    H  P

Phân dạng, bài tập mẫu và phương pháp giải Đại số Tổ hợp – Nguyễn Vũ Minh, Lê Thị Phượng

ST& BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   Tổ hợp - xác su         Mua file Word liên h   Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpayST& BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   Tổ hợp - xác su         Mua file Word liên h   Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  PH  N I –      BÀI QUY T  M A – LÝ THUY   1. Qui t  c c  ng:  a) Đị nh ngh    M  t công vi     c th  c hi  n theo m  c   B.  N    m   cách th  c hi    n   cách th  c hi  n và không trùng v  i b  t kì  cách nào trong phương án A th     m + n   cách th  c hi  n.  b) Công th  c quy t  c c  ng  Nếu các tập   1   2 ,   ,...,   n A   A   A     1   2   1   2 ...   ...                    n   n A   A   A   A   A   A  2. Qui t  c nhân:  a) Đị nh ngh   M  t công vi    bao g  n A và B. N  n A có   m   cách th  c hi  n và    ng v  i m    n   cách th  c hi  n B thì công vi    m.n   cách th  c hi  n.  b) Công th  c quy t  c nhân  Nếu các tập   1   2 ,   ,...,   n A   A   A     1   2   1   2 ...   .   .....           n   n A   A   A   A   A   A   .  3. Các bài toán đếm cơ bả n  Bài toán 1:    Khi lập một số tự nhiên   1 ...    n x   a   a   ta cần lưu ý: *       0,1, 2,..., 9  i a   và   1   0  a   . *   x là số chẵn      n a   là số chẵn *   x là số lẻ      n a   là số lẻ *   x chia hết cho   1   2 3   ...             n a   a   a   chia hết cho   3 *   x chia hết cho   4   1     n   n a   a   chia hết cho   4 *   x chia hết cho       5   0,5     n a  *   x chia hết cho 6      x là số chẵn và chia hết cho   3 *   x chia hết cho   2   1 8          n   n   n a   a   a   chia hết cho   8 *   x chia hết cho   1   2 9   ...             n a   a   a   chia hết cho   9 . *   x   chia hết cho   11      tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho   11 . *   x   chia hết cho   25      hai chữ số tận cùng là   00, 25,50, 75   .  Bài toán 2:     Bài toán 3:     Chú ý:   1. Ta thườ ng g  m s    phương án thự c hi  ng   H   th  a mãn tính ch  t  T   . Để   gi  i   bài toán này ta thườ ng gi  i theo hai cách sau  Cách 1:           Phương án 2:    Trong trường hợp hành động   H chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:

Bài tập trắc nghiệm tổ hợp và xác suất có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông

CHUYÊN M  C M  I TU  N M  T CH        -   CH        S    2 NGÀY 27/8/2018  Fanpage: T  u toán h  c   Chinh ph  c olympic toán | 1  CÁC BÀI TOÁN ĐẾ M      XÁC SU  T HAY VÀ KHÓ  T  u toán h  c  Ti  p n  i thành công c  a s    trướ c, trong s    này chúng ta s    cñng đi tëm hiể u các bài toán   m      xác su  t hay và khó. Bên c   giáo khoa, trong bài vi  t này mình s    gi  i thi  u cho các b  n m  t vài công c    m  nh n   gi  i quy  t các bài toán xác su  t. B    Chinh ph  c Olympic toán  các b  c nhé!  I. HAI BÀI TOÁN TÍNH XÁC SU  T CÓ NHI  U    NG D  NG  1. BÀI TOÁN CHIA K  O EULER  Bài toán chia k  o c  a Euler là bài toán n  i ti  ng trong Lý thuy  t t    h  p. V  i nh  ng h  c sinh chuyên Toán c  c và có nhi  u    ng d   m  t cách ti  p c  n bài toán chia k  o c  a Euler cho h  c sinh l    th  y r  ng các bài  toán đế m nói riêng và các bài toán t    h  p nói chung luôn là nh  ng bài toán mà l  i gi  i c  a nó ch  ng   s    h    Trướ c h  t, xin phát bi  u l  i bài toán chia k  o c  a Euler  Bài toán chia k  o c  a Euler:  Có n   cái k  o (gi  ng nhau)   chia cho k   em bé, h  i có bao nhiêu cách chia sao cho em nào  cũng cî kẹ o. M  t cách h  ng h  p c    th    t     nh  hướ ng    a ra l  i gi  i cho bài toán t  ng quát.  Bài toán 1.   Có   20   cái k  o (gi  ng nhau) chia cho 3 em bé, h  i có bao nhiêu cách chia sao cho a) M  i em có ít nh  t   1 cái k  o. b) M  i em có ít nh  t   2   cái k  o. c) Em th    nh  t có ít nh  t   1   cái k  o, em th    hai có ít nh  t   2   cái k  o và em th    ba có nhi  u nh  t   3   cái k  o.  L  i gi  i.  a) Nh  n th  y r  ng, vì m  i em có ít nh  t m  t cái k  o nên s    k  o c  a em th    nh  t nh  c   t là   1   và nhi  u nh  t là   18   Xét các tr  ng h  p  Trườ ng h  p 1.   Em th    nh  t nh  c   1   cái k  o, thì s    k  o c  a em th    hai có th   là 1, 2, 3,..., 18   em th    ba nh  n s    k  o còn l  i sau khi chia cho em th    nh  t và em th    hai  xong, nghĩa là trong trườ ng h  p này có   18 cách chia k  o.  Trườ ng h  p 2.   Em th    nh  t nh  c 2 cái k    k  o c  a em th    hai có th   là 1, 2, 3,..., 17   em th    ba nh  n s    k  o còn l  ng h  p này có   17   cách chia k  o  ...T    H  P      XÁC SU  T VÀ CÁC BÀI TOÁN Đ  M KHÓ  2 | Chinh ph  c olympic toán   Fanpage: T  u toán h  c  Hoàn toàn tương tự   cho các trườ ng h  p còn l  i, ta nh  n th  y s    cách chia   20   cái k  o cho   3  em bé sao cho em nào cũng cî kẹ o là 18   17   ...   2   1   171               Phát bi  u t  ng quát.  N  u k   1    thì ch    có 1 cách chia k  o N  u k   2    ta tr  i n chi  c k  o thành dàn hàng ngang, ti  p theo ta dùng     k   1    chi  t vào     n   1   khe gi  a các viên k    nó chia thành k ph  y có t  t c  k   1 n   1 C       cách. C    2 trườ ng h  u có k   1 n   1 C       cách chia k  o.  Trên đây là lờ i gi  i c  a bài toán chia k  o Euler      bài toán đế m n  i ti  ng v  i nhi  u    ng d  ng trong  các bài toán đế m khác. Bài này tác gi    s    trình bày bài toán g  n và m  t s    bài toán đế m d  ng    ng d  ng mà n  ng s    r  m c  a bài toán Euler thì bài toán l  i tr    thành đơn giả n.  Sau đây ta sẽ   cùng tìm hi  u m  t    ng d  ng r  t l  n trong vi  m s    nghi  m nguyên c  a  phương trënh.  Bài toán 1.   Phương trënh      k i i   1  x   n n   k           có bao nhiêu nghi   Coi i x   là ph  n k  o c  a em nh    th    i trong bài toán chia k  o thì s    nghi  m c   trình chính là s    cách chia n chi  c k  o cho k em nh  . V  k   1 n   1 C       nghi  m  nguyên dương.  Bài toán 2.   Phương trënh      k i i   1  x   n n   k           có bao nhiêu nghi  m nguyên không âm? Ta có                 1   2   k   1   2   k x   x   ...   x   n   x   1   x   1   ...   x   1   n   k                                        t i   i x '   x   1       thì i x '   là các s    nguyên dương.    ng bài toán g  c ta có t  t c  k   1 n   k   1 C          nghi  m nguyên không âm c   Bài toán 3.   B       k i i   1  x   n n   k   1              có bao nhiêu nghi  m nguyên   dương?  Ta luôn có      k   k i   i i   1   i   1  x   n   x   x'   n x'   1                          . V  y có t  t c  k n   1 C      nghi  a  phương trë nh.  Bài toán 4.   B       k i i   1  x   n n   k           có bao nhiêu nghi  m nguyên   dương?  Ta có            k   k   k i   i   i i   1   i   1   i   1  x   n   x   x'   n x'   0   x   x''   n   1 x''   x'   1                                                   ng bài toán Euler ta có k n C   nghi  m  Bài toán 5.   Phương trënh k i i   1  x   n        có bao nhiêu nghi  m nguyên th  a mãn    ng th  i 2   u ki  n            k i   i   i   i i   1  x   d   d   0 , n   d   k   1                 ?

Các bài toán đếm – xác suất hay và khó

TS. Nguy¹n V«n Lñi (chõ bi¶n)- Ngæ Thà Nh¢Sigma - MATHS https://toanmath.com/

108 bài toán tổ hợp – phương pháp

T  Tiêu Ph   c Th  a    252 bài toán  T  ng h  p m  t s    bài t  p phép đ  m dùng ôn thi t  t  nghiệp THPT có lời giải chi tiếtTrang   1 / 61   -   Tiêu Phước Thừa - 0919767877  PHÉP ĐẾM (QUY TẮC CỘNG      QUY TẮC NHÂN)     Dạng 01: Quy tắc cộng  Câu 1.   Có 3   cây bút đ  , 4   cây bút xanh trong m  t h  p bút. H  i có bao nhiêu cách l  y ra m  t cây bút t    h  p  bút?  A.   4.   B.   12.   C.   7.   D.   3.  Câu 2.   Một lớp có 24 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh của lớp học    A.   432 cách chọn.   B.   42 cách chọn.  C.   18 cách chọn   D.   24 cách chọn  Câu 3.   Một trường THPT     sinh nam lớp 11A hoặc một học sinh nữ lớp 10 B.   Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, biết rằng lớp 10B  có 30   học sinh nữ và lớp 11A có 25   học sinh nam?  A. 30   .   B. 55   .   C. 750   .   D. 25   .  Câu 4.   Gi    s    t    t  nh A đ  n t  nh B có th      ng các phương ti  n : ôtô, tàu h  a, t  u th  y ho  c máy   bay. M  i ngày có 10  chuy  n ô tô, 5   chuy  n tàu h  a, 3   chuy  n tàu th  y và 2   chuy  n máy bay. H  i có bao nhiêu cách đi t    t  nh A đ  n  t  nh B   ?  A. 15   .   B. 20   .   C. 18   .   D. 150   .  Câu 5.   Từ một bó hoa hồng gồm 3 bông hồng trắng, 5 bông hồng đỏ và 6 bông hồng vàng, có bao nhiêu cách  chọn ra một bông hồng?  A. 8   .   B. 11   .   C. 14   .   D. 90   .  Câu 6.   Gia đình bạn A có nuôi 2   con bò, 3   con trâu. Hỏi bạn A có bao nhiêu cách chọn 1   con vật nuôi bất  kỳ?  A. 3   B. 2   C. 6   D. 5  Câu 7.   Một hộp đồ chơi có 6   viên bi xanh, 5   viên bi đỏ .   Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 1   viên?  A. 6   .   B. 30   .   C. 11   .   D. 5   .  Câu 8.   M  t t    có 5   h  c sinh n    và 6   h  c sinh nam. H  i có bao nhiêu cách ch  n ng  u nhiên m  t h  c sinh c  a  t      c nh  t.  A. 11   B. 10   C. 20   D. 30  Câu 9.   Một em bé muốn lấy một đồ chơi trên kệ. Biết trên kệ có 4   chiếc máy bay, 5   chiếc xe tăng và 6   con  khủng long. Hỏi bé có bao nhiêu cách chọn một đồ vật?  A. 24   .   B. 120   .   C. 15   .   D. 20   .  Câu 10.   Trong một cửa hàng bánh có 7   loại bánh ngọt, 4   loại bánh mặn, 5   loại bánh chay. Bạn Nam cần  chọn mua đúng một loại bánh. Hỏi bạn Nam có bao nhiêu sự lựa chọn?  A. 16   .   B. 140   .   C. 28   .   D. 7   .  Câu 11.   Một hộp có chứa 7 bóng đèn màu đỏ và 4 bóng đèn màu xanh. Số tất cả các cách chọn một bóng đèn  trong hộp là  A.   4.   B.   28.   C.   11.   D.   7.  Câu 12.   M  t t    có 5   h  c sinh n    và 6   h  c sinh nam .   H  i có bao nhiêu cách ch  n ng  u nhiên m  t h  c sinh  c  a t      c nh  t .  A. 10   .   B. 20   .   C. 11   .   D. 30   .  Câu 13.   Có 3 cây bút đỏ, 4 cây bút xanh trong một hộp bút. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một cây bút từ hộp  bút?  A.   3.   B.   4.   C.   12.   D.   7.  Câu 14.   Trên kệ sách nhà bạn Hoa có 5 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển sách Vật Lý khác nhau. Hỏi  bạn Hoa có bao nhiêu cách chọn một quyển sách để đọc?  A.   30.   B.   11.   C.   5.   D.   6.

252 bài toán phép đếm ôn thi tốt nghiệp THPT – Tiêu Phước Thừa

1  CHUYÊN ĐỀ   :  CÁC BÀI TOÁN ĐẾM LIÊN QUAN ĐẾN ĐA GIÁC VÀ ĐA GIÁC ĐỀ U  Tác gi    : Lê Th  o Nhóm giáo viên Toán ti  p s  c Chinh ph   Trong các đề   thi th    và đề   minh h  a c  c sinh g  p nhi  m liên  quan đế n y  u t    hình h  c. Bài vi  t s    giúp các em nhìn nhậ n và hi  u rõ cách làm các d  ng bài t  p  này và có hướ ng gi  i quy  t khi g    thi.  M  T S    K  T QU    THƯỜNG GẶ P     n    m nào th  ng hàng.   S     ng th  m:   (   ) 2   1 2  n n n C    =   .      vectơ khác   0     n  m b    2  n A   .      tam giác tạ o thành:   3  n C   .      n    ng ph    t    diện đượ c t  o thành:   4  n C .     Cho đa giác lồ i n    nh:     S     ng chéo c    2  n C   n    .  Gi  i thích   :  N  m trong   n    nh có   2  n C   cách n  i ( trong các cách n  i này ta n  c c    c  nh và c    ng chéo) Suy ra s     ng chéo là :   2  n C   n      N    giao điểm giữa các đườ ng chéo mà  giao điể m n    4  n C   .  Gi  i thích   :  C    1 t    giác có 4 đỉnh là đỉ nh c  n th  ng chéo c    c  t nhau t  i 1    m n    giao điể m th  a mãn yêu c  u b  ng s    t    giác.2   S    tam giác có 3 đỉnh là đỉ nh c    3  n C   .   S    tam giác có đúng 1 cạ nh c    2 cạnh còn lại là đườ ng chéo:   (   ) 4 n n      .  Gi  i thích   :  Ch  n 1 c  nh có   n   cách ch  n Ch  m còn l  i không k    v  i c  nh có   4 n      cách ch  n Nên s    tam giác th  a mãn yêu c  u là   (   ) 4 n n      S    tam giác có 2 cạ nh c  ng chéo:   n   .  Gi  i thích   :  T  nh c    tam giác th  a mãn là   n   .   S    tam giác có cạnh đều là các đườ ng chéo c   Công th  c 1   :   (   ) 3   4 n C   n n   n          .  Gi  i thích   :  S    tam giác c  n tìm = S    tam giác b  t k    - ( S    tam giác có đúng 1 cạ nh là c   tam giác có 2 c  nh là c   Công th    :   2 4 3   n n C      .  Gi  i thích   :  Ch  nh th    1 có   n   cách Ch  nh th    2,3   không k     nh th    nh  t và không k    nhau, nên giữa đỉ nh s    1 và s    2 có  x    nh s    2 và s    3 có   y    nh s    3 và s    1 có   z    m và  3 x   y   z   n +   +   =      ( v  i   ,   ,   * x y z         ) S    b    (   ) ;   ; x y z   th    2 4 n C     Nên s    tam giác đượ c ch  n là   2 4 n nC    Mà m  i trong s    các tam giác này b    l  p 3 l  n nên ta có s    tam giác c  n tìm là   2 4 3   n n C        Cho đa giác đề u n    nh:

Các bài toán đếm liên quan đến đa giác và đa giác đều – Lê Thảo

Chuyên đề 2: TỔ HỢP - XÁC SUẤT  38  Chuyên đề   2 :   TỔ HỢP   - X   VẤN ĐỀ 1  HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN         QUY TẮC CỘNG  Một công việc X      một trong hai   công việc A   hoặc B   . Nếu A   có m   cách  thực hiện và B   có n   cách   thực   hiện (không trùng với bất kì cách thực hiện nào của A   ) thì  công việc X   có m   n    cách thực hiện.     Quy tắc cộng thực chất là chia một bài toán thành nhiều trường hợp khác nhau   không  trùng lập . Khi đó đáp số của bài toán bằng tổng đáp số của các trường hợp.   Ghi chú  .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................  BÀI   TOÁN MẪU  Bài mẫu 1:   Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 5   có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau?  Bài giải  Gọi 1   2  x   a a    là số cần tìm.  Vì x   là số chẵn nên 2  a   chỉ có thể bằng 0 hoặc bằng 2.  - Trường hợp 1 . Nếu 2   0 a      thì 1  a   có 4 cách lựa chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 5   . - Trường hợp 2 . Nếu 2   2 a      thì 1  a   có 3 cách lựa chọn từ các chữ số 1; 3; 5   (do 1   0 a      và 1   2  a   a   ). -   Hai trường hợp này không có số x   nào trùng nhau. Do đó, theo quy tắc cộng ta có 4   3   7      số các số cần tìm.  Bài mẫu 2:   T  i   một   buổi   l    có 13 c  p v    ch  ng tham d  , m  i ông b  t tay v  i m  i tr   v    mình và các bà không ai b  t tay v  i nhau. H  i có bao nhiêu cái b  t tay?  Bài giải  Bu  i l    có 13 c  p v    ch  ng v  i.Trường THPT MARIE CURIE  39  G  i 1   , A 2   , A   ..., 13  A   l  t là 13 ông tham gia cùng v  i v    c  a mình trong bu  i l  . Do 1  A   không bắt tay với vợ mình và không bắt tay với chính mình nên 1  A   có 26   2   24      cái bắt tay với 24 người còn lại . Vì 2  A   không bắt tay với vợ mình, không bắt tay với chính mình và đã bắt tay với 1  A   nên 2  A  có 26   3   23       cái bắt tay với 23 người còn lại.  Vì 3  A   không bắt tay với vợ mình, không bắt tay với chính mình và đã bắt tay với 1  A   và 2  A  nên 3  A   có 26   4   22       cái bắt tay với 22 người còn lại.  Tương tự như vậy ta   có: 4  A  có 21 cái bắt tay. 5  A  có 20 cái bắt tay.  ... 12  A  có 13 cái bắt tay. 13  A  có 12 cái bắt tay.  T heo quy tắc cộng, ta có 12   13   14   ...   24   234                cái bắt tay trong buổi lễ.     2.   QUY TẮC NHÂN  Một công việc X      liên tiếp   hai công việc A   và B   . Nếu A   có m   cách th  A    n   cách thực hiện B   thì công việc X   có m   n   cách thực hiện.   Ghi chú  ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................  B   Bài mẫu 3:   Một người có 12 quyển sách khác nhau, gồm 5 quyển sách toán, 4 quyển sách lý và 3 quyển sách hóa. Người ấy muốn chọn ra 1 quyển sách toán, 1 quyển sách lý và 1 quyển sách hóa từ 12 quyển sách ở trên để tặng một người bạn. Hỏi người ấy có bao n hiêu  cách chọn?  Bài giải    Công việc thứ 1 : Chọn 1 trong 5 quyển sách toán, có 5 cách chọn.  Công việc thứ 2 : Chọn 1 trong 4 quyển sách lý, có 4 cách chọn.

Các dạng bài tập tổ hợp – xác suất

Chuyên đ    1 4 :   Nh    th  c NEWTON và    ng d  ng  754  Dang Thanh Nam  Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam  Dang Thanh Nam  Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam  Email :   dangnamneu@gmail.com  Yahoo: changtraipkt  Mobile: 0976266202  CHUYÊN Đ    1 4 :  NH    TH  C NEWTON VÀ    NG D  NGChuyên đ    1 4 :   Nh    th  c NEWTON và    ng d  ng  755  Dang Thanh Nam  Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Nhị thức Newton – Đặng Thành Nam

Tư duy mở trắc nghiệm toán lý Sưu tầm và tổng hợp  (  )  160 CÂU VD TỔ HỢP XÁC SUẤT Môn: Toán  Thời gian làm bài   phút (160 câu trắc nghiệm)  Họ và tên thí sinh:   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Mã đề thi 142 Câu 1.   Cho   5   chữ số   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   6 . Lập các số tự nhiên có   3   chữ số đôi một khác nhau từ   5   chữ số   A   12312 .   B   21321 .   C   21312 .   D   12321 .  Câu 2.   Cho tập hợp   A   =   { 1; 2; 3; 4;   . . .   ; 100 } . Gọi   S   là tập hợp gồm tất cả các tập con của   A , mỗi tập con này gồm   3   phần tử của   A   và có tổng bằng   91 . Chọn ngẫu nhiên một phần tử của   S . Xác suất chọn được phần tử có ba số lập thành một cấp số nhân bằng  A   3 645 .   B   4 645 .   C   2 645 .   D   1 645 .  Câu 3.   Từ hai chữ số   1   và   8   lập được bao nhiêu số tự nhiên có   8   chữ số sao cho không có hai chữ số   1     A   55 .   B   108 .   C   54 .   D   110 .  Câu 4.   Một túi đựng   10   tấm thẻ được đánh số từ   1      10 . Rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi    3   bằng  A   2C 3 3   + C 3 4   + C 1 3 C 1 3 C 1 4  C 3 10  .   B   2C 1 3 C 1 3 C 1 4  C 3 10  .  C   1 3 .   D   2C 3 3   + C 3 4  C 3 10  .  Câu 5.   Có   12   người xếp thành một hàng dọc (vị trí của mỗi người trong hàng là cố định). Chọn ngẫu nhiên   3   người trong hàng. Tính xác suất để   3   người được chọn không có hai người nào đứng cạnh nhau.  A   7 110 .   B   21 55 .   C   55 126 .   D   6 11 .  Câu 6.   Một tổ học sinh có   6   nam và   3   nữ được yêu cầu xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp sao cho không có   2   bạn nữ nào đứng cạnh nhau là  A   9! .   B   25200 .   C   151200 .   D   86400 .  Câu 7.   Một xưởng sản xuất thực phẩm gồm   4   kỹ sư chế biến thực phẩm,   3   kỹ thuật viên và   13  công nhân. Để đảm bảo sản xuất thực phẩm chống dịch Covid-19, xưởng cần chia thành   3   ca sản xuất theo thời gian liên tiếp nhau sao cho ca   1   có   6   người và 2   ca còn lại mỗi ca có 7   người. Tính xác suất sao cho mỗi ca có 1 kĩ thuật viên, ít nhất một kĩ sư chế biến thực phẩm  A   440 3320 .   B   41 230 .   C   441 3230 .   D   401 3320 .  Câu 8.   Kết quả   ( b ;   c )   của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần (trong đó   b   là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu,   c   là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai) được thay vào phương trình   x 2   +   bx   +   c x   + 1   = 0 (  ) . Xác suất để phương trình   (  )   vô nghiệm là  A   17 36 .   B   1 6 .   C   19 36 .   D   1 2   .  Câu 9.   Tập   S   gồm các số tự nhiên có   6   chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số  0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập   S . Xác suất để số được chọn không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau là  A   13 80 .   B   11 70 .   C   29 140 .   D   97 560 .  Câu 10.  Trang 1/16      Mã đề 142Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc đỉnh với  ngẫu nhiên   3   bước. Tính xác suất sau cho   3   bước quân vua trở về   A   1 32 .   B   1 16 .   C   3 64 .   D   3 32 .  Câu 11.   Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có năm chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng   abcde   trong đó   1      a      b      c      d      e      9 .  A   11 200 .   B   143 10000 .   C   3 7   .   D   138 1420 .  Câu 12.   Gọi   S   là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số (không nhất thiết khác nhau) được lập từ các chữ số   0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 . Chọn ngẫu nhiên một số   abc   từ   S   . Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn   a      b      c .  A   9 1 .   B   13 60 .   C   11 60 .   D   1 6   .  Câu 13.   Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có mặt   3   chữ số   2 ,   3   và   4   là  A   23 378 .   B   4 9 .   C   1 648 .   D   1 2   .  Câu 14.   Cho tập hợp   A   =   { 1; 2; 3;   . . .   ; 2018 }   và các số   a, b, c   thuộc   A . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có dạng   abc   sao cho   a < b < c   và   a   +   b   +   c   = 2016 .  A   2026086 .   B   2027080 .   C   337681 .   D   338184 .  Câu 15.      50   câu hỏi, mỗi câu có   4   phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng. Mỗi câu trả lời đúng được   0 ,   2    bài nên mỗi câu trả lời đều chọn ngẫu nhiên một phương án. Xác suất để học sinh đó được đúng  5     A  25 4     (   3 4  ) 25  4 50   .   B  C 25 50  (   1 4  ) 25    (   3 4  ) 25  4 50   .  C  (   1 4  ) 25    (   3 4  ) 25  .   D   C 25 50  (   1 4  ) 25    (   3 4  ) 25  .  Câu 16.   Trò chơi quay bánh xe số trong chương trình truyền hình "Hãy chọn giá đúng" của kênh VTV3 Đài truyền hình Việt Nam, bánh xe số có 20 nấc điểm:   5 ,   10 ,   15 , ...,   100   với vạch chia đều nhau và giả sử rằng khả năng chuyển từ nấc điểm đã có tới các nấc điểm còn lại là như nhau. Trong mỗi lượt chơi có 2 người tham gia, mỗi người được quyền chọn quay 1 hoặc 2 lần, và điểm số của người chơi được tính như sau: + Nếu người chơi chọn quay 1 lần thì điểm của người chơi là điểm quay được. + Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được không lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được. + Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được trừ đi 100. Luật chơi quy  khác. An và Bình cùng tham gia một lượt chơi, An chơi trước và có điểm số là 75. Tính xác suất   A   P   =   3 16 .   B   P   =   7 16 .   C   P   = 19 40 .   D   P   = 1 4   .  Câu 17.   Có   2   học sinh lớp A,   3   học sinh lớp B và   4   học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?  A   80640 .   B   108864 .   C   217728 .   D   145152 . Trang 2/16      Mã đề 142

160 câu vận dụng cao tổ hợp – xác suất ôn thi THPT môn Toán

Chuyên đ    1 5 :   Các bài toán đ  m và s    cách ch  n t    h  p  784  Dang Thanh Nam  Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam  Dang Thanh Nam  Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam  Email :   dangnamneu@gmail.com  Yahoo: changtraipkt  Mobile: 0976266202  CHUYÊN Đ    1 5 :  CÁC BÀI TOÁN Đ  M VÀ S    CÁCH CH  N  T    H  PChuyên đ    1 5 :   Các bài toán đ  m và s    cách ch  n t    h  p  785  Dang Thanh Nam  Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài toán Tổ hợp – Đặng Thành Nam

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN   TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I 1  NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN ---------------------  THÂN TẶNG CÁC EM - CHÚC CÁC EM HỌC GIỎI HÃY SỐNG CÓ KHÁT VỌNG,CÓ NIỀM TIN VÀO BẢN THÂN CÁC EM SẼ THÀNH CÔNG!NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN   TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I 2  Giải:  -   Số cách chọ 1 đề tự luận là 12 cách  -   Số cách chọn 1 đề trắc nghiệm là 15 cách Vì một học sinh phải làm đồng thời 2 loại đề nên có tất cả 12.15 = 180 cách chọn đề thi Giải: a. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là: n =   1   2   3   4 a a a a  1 ,a 2 ,a 3 ,a 4   trong đó:  -   a 1   có 6 cách chọn  -   a 2   có 5 cách chọn  -   a 3   có 4 cách chọn  -   a 4   có 3 cách chọn Vậy có 6.5.4.3 = 360 số n cần tìm b.Gọi số tự chẵn có 5 chữ số cần tìm là n =   1   2   3   4   5 a a a a a   trong đó - a 5   chỉ có 1 cách chọn (bằng 2)  -   a 1   có 5 cách chọn  -   a 2   có 4 cách chọn  -   a 3   có 3 cách chọn  -   a 4   có 2 cách chọn Vậy số n cần tìm là:1.2.3.4.5 = 120 số  Ví dụ 1:Đề thi cuối khó môn toán khối 12 ở một trường trung học gồm hai loại đề tự luận và trắc nghiệm.Một học sinh dự thi phải thực hiện hai đề thi gồm 1 tự luận và một trắc nghiệm,trong đó tự luận có 12 đề, trắc nghiệm có 15 đề.Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêu cách chọn đề thi? a.  Ví dụ 2 :Cho tập hợp A = {1,2,3,5,7,9} a.   Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau b.   Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau  I.Quy tắc nhân Một công việc H được thực hiện qua K giai đoạn H 1 , H 2   ,H 3   ....H k  ,trong đó: Giai đoạn H 1   có n 1   cách thực hiện Giai đoạn H 2   có n 2   cách thực hiện Giai đoạn H 3   có n 3   cách thực hiện ........................................ Giai đoạn H k   có n k   cách thực hiện Khi đó để hoàn thành công việc H phải thực hiện đồng thời K giai đoạn thì suy ra có (n 1 .n 2 .n 3 ....n k   ) cách để hoàn thành công việc H

Một số bài toán về quy tắc đếm – Nguyễn Tiến Chinh

Bài tập và câu hỏi trắc nghiệm đại số tổ hợp – Văn Nhân, Hồng Danh, Minh Quang

  M      XÁC SU  T  S  U T  M T    CÁC DI  N ĐÀN VÀ Đ    THI TH    TRÊN C    N   C  CÁC BÀI TOÁN  HAY VÀ KHÓ  T  P CHÍ VÀ TƯ LI  U TOÁN H  C  CHINH PH  C OLYMPIC TO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM - XÁC SUẤT KHÓ   Chinh Phục Olympic Toán  CÁC BÀI TOÁN ĐẾM - XÁC SUẤT KHÓ  Sưu tầm và L A TEX bởi Tạp chí và tư liệu toán học  Cách đây một thời gian khá lâu, fanpage có đăng một tài liệu về tổ hợp và xác xuất ở mức khá giỏi và cũng nhận được những phản hồi từ phía các bạn theo dõi. Trong lần đăng bản cập nhật này các bạn sẽ nhận  sung. Hy vọng tài liệu sẽ giúp ích được cho các bạn.  Mục lục  1   Lý thuyết cần nhớ.   2  1.1   Xác suất có điều kiện   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2 1.2   Bài toán chia kẹo của Euler.   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   10 1.3   Một số kết quả của bài toán đếm có yếu tố hình học   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   11  2   Các bài toán tổng hợp   13  1   Lý thuyết cần nhớ.  1.1   Xác suất có điều kiện     Xác suất có điều kiện của biến cố   A   với điều kiện   B   là một số được xác định bởi công thức  P ( A | B ) =   P ( AB )  P ( B )   nếu   P ( B )   >   0.  Tính chất 1.  1.   P ( A | B )   >   0 . 2.   P (  | B ) =   P ( B | B ) =   1 , 3. Nếu   A i ,   i   =   1, . . . ,   n   là các biến cố đôi một xung khắc thì   P  (   n   i = 1  A i | B  )  =  n    i = 1  P ( A i | B ) . 4. (Công thức nhân xác suất)   P ( AB ) =   P ( B ) P ( A | B ) =   P ( A ) P ( B | A ) .  Chú ý 1.   Xác suất điều kiện cho phép tính xác suất xảy ra của một biến cố khi biến cố khác đã xảy ra. Trong trường hợp hai biến cố   A   và   B      B   xảy ra không ảnh hưởng gì tới việc xảy ra biến cố  A   nên   P ( A | B ) =   P ( A ) . Ta được công thức nhân xác suất thông thường.     Nếu   B i ,   i   =   1, . . . ,   n , là hệ các biến cố đôi một xung khắc sao cho  n   i = 1  B i   =     thì với biến cố   A   bất kì ta luôn có  P ( A ) =  n    i = 1  P ( B i ) P ( A | B i ) .  Hệ các biến cố   B i   ( i   =   1, . . . ,   n ) như vậy được gọi là hệ đầy đủ.     Cho biến cố   A   và hệ đầy đủ   B i   ( i   =   1, . . . ,   n ) đều có xác suất dương. Khi đó  P ( B i | A ) =   P ( B i ) P ( A | B i )  P ( A )   =   P ( B i ) P ( A | B i )  n    i = 1  P ( B i ) P ( A | B i )  .  Tài liệu được sưu tầm và   L A TEX   2   h   Tạp chí và tư liệu toán học

Các bài toán tổ hợp – xác suất hay và khó

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam  Chương II - Tổ Hợp và Xác Suất  1  Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  A.   LÍ THUY  T  I . Quy t  c c  ng  1.     nh nghĩa:   Xét m  t công vi  c H   .  Gi    s  H   có k   phương án 1   2 ,   ,...,   k H   H   H   th  c hi  n công vi  c H   .  N  u có 1 m   cách th  c hi  n phương án 1 H   ,  có 2 m   cách th  c hi  n phương án 2 H   ,..,  có k m   cách th  c hi  n phương án k H   và   m  i cách th  c hi  n phương án i H   không trùng v  i  b  t kì cách th  c hi  n phương án j H   (     ; ,   1, 2,..., i   j i j   k       )  thì có 1   2   ...   k m   m   m          cách th  c hi  n công vi  c H   .  2.   Công th  c quy t  c c  ng  N  u các t  p 1   2 ,   ,...,   n A   A   A     t r  i nhau.  Khi đó: 1   2   1   2 ...   ... n   n A   A   A   A   A   A                     3. Ví d    minh h  a.  Ví dụ   1.   Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39   hoặc cỡ 40.    39   có 5   màu khác nhau, áo  cỡ 40   có 4   màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu áo và cỡ áo)?  A. 9.   B. 5.   C. 4.   D. 1.  Lời giải.  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  Ví dụ   2 .   Một người có 4   cái quần khác nhau, 6   cái áo khác nhau, 3   chiếc cà vạt khác nhau. Để chọn  một cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt thì số cách chọn khác nhau là:  A. 13.   B. 72.   C. 12.   D. 30.  Lời giải.  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ . Theo quy tắc cộng có:   m 1   +   m 2   +   m x   +...+   m k (   )   cách  m k   cách chọn  m x   cách chọn  m 2   cách chọn  Hành động k  Hành động x  Hành động 2  m 1   cách chọn Hành động 1  Hoàn thành Công việc   B À   I   1 .   HAI QUY T  C     MTrung Tâm Luyện Th i Đại Học Amsterdam  Chương II - Tổ   Hợp và Xác Suất  2  Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  Ví dụ   3 .   Trên bàn có 8   cây bút chì khác nhau, 6   cây bút bi khác nhau và 10   cuốn tập khác nhau.  Một học sinh muốn chọn một đồ vật duy nhất hoặc một cây bút chì hoặc một cây bút bi hoặc một  cuốn tập thì số cách chọn khác nhau là:  A. 480.   B. 24.   C. 48.   D. 60.  Lời giải.  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  Ví dụ   4 .   Trong một trường THPT, khối 11   có 280   học sinh nam và 325   học sinh nữ. Nhà trường  cần chọn một học sinh ở khối 11     cách chọn?  A. 45.   B. 280.   C. 325.   D. 605.  Lời giải.  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  Ví dụ   5 .   Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định  chọn một học sinh tiên tiến lớp 11 A   hoặc lớp 12   . B   Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu  biết rằng lớp 11 A   có 31   học sinh tiên tiến và lớp 12 B   có 22   học sinh tiên tiến?  A. 31.   B. 9.   C. 53.   D. 682.  Lời giải.  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .  Ví dụ   6 .   Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1    6   và ba quả cầu đen được   7, 8, 9.   Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?  A. 27.   B. 9.   C. 6.   D. 3.  Lời giải.  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ................................ .

Bài tập tổ hợp và xác suất – Diệp Tuân

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc     300     Chuyeân ñeà 11 :       Vaán ñeà 1:   SÖÛ DUÏNG COÂNG THÖÙC k   k n   n   n P ,A ,C  A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI  1.   HOAÙN VÒ  Soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû: P n   =n!  2.   CHÆNH HÔÏP:  Soá chænh hôïp:              m n A   n(n   1)(n   2)...(n   m   1)      m n  n! A   (n   m)!        n      m vaø n, m nguyeân döông  3 .   TOÅ HÔÏP:  Soá toå hôïp:            m n  n(n   1)(n   2)...(n   m   1) C   1.2.3...m      m n  n! C   m!(n   m)!           n   m  n, m nguyeân döông  Ta coù coâng th   1/    m   n   m n   n C   C   2/          m 1   m   m n 1   n 1   n C   C   C  3/              0   1   2   n   n n   n   n   n C   C   C   .....   C   2  Soá taäp hôïp con cuûa taäp hôïp n phaân töû laø 2 n .  B.ÑEÀ THI  Baøi 1:    Chöùng minh raèng                                  k   k 1   k n 1   n 1   n  n   1   1   1   1 n   2   C   C   C  (n, k laø caùc soá nguyeân döông, k    k n C   laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû).  Giaûi  Ta coù:                                                      k   k 1 n 1   n 1  n   1   1   1   n   1 k!(n   1   k)!   (k   1)!(n   k)! . n   2   n   2   (n   1)! C   C                      1   k!(n   k)! .   (n   1   k)   (k   1) n   2   n!        k n  k!(n   k)!   1 n!   CTT Luy  i H  N  301  Baøi 2:    Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû (n    A baèng 20 laàn soá taäp con goàm 2 phaàn töû cuûa A. Tìm k      2..., n} sao cho soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát.  Giaûi  Soá taäp con k phaàn töû cuûa taäp hôïp A baèng k n C   . Töø giaû thieát suy ra:  4   2 n   n C   20C                 2  n   5n   234   0   n   18   (vì n      4). Do           k 1 18 k 18  C   18   k   1 k   1 C      k < 9 neân                    1   2   9   9   10   18 18   18   18   18   18   18 C   C   ...   C   C   C   ...   C  Vaäy soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát khi vaø chæ khi k = 9.  Baøi 3:    Tính giaù trò bieåu thöùc          4   3 n 1   n A   3A M   (n   1)!   , bieát raèng :                     2   2   2   2 n 1   n 2   n 3   n   4 C   2C   2C   C   149  (n laø soá nguyeân döông, k n A   laø soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû vaø k n C   laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû).  Giaûi        3. Ta coù                     2   2   2   2 n 1   n 2   n 3   n   4 C   2C   2C   C   149                               (n   1)!   (n   2)!   (n   3)!   (n   4)! 2   2   149 2!(n   1)!   2!n!   2!(n   1)!   2!(n   2)!     n 2   + 4n      45 = 0      n = 5 hay n =    9 (loaïi). suy ra M =          4   3 6   5  6!   5! 3. A   3A   3 2!   2! 6!   6!   4   .  Baøi 4:    Tìm soá nguyeân n lôùn hôn 1 thoûa maõn ñaúng thöùc:        2   2 n   n   n   n 2P   6A   P A   12   . ( n P   laø soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû vaø k n A   laø soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû).  Giaûi  Ta coù:        2   2 n   n   n   n 2P   6A   P A   12   (n      , n      2) n!   n! 2.n!   6.   n!   12 (n   2)!   (n   2)! n!   n! (6   n!)   2(6   n!)   0   (6   n!)   2   0 (n   2)!   (n   2)!                                                         6   n!   0   n!   6   n   3 n!   2   0   n(n   1)   2   0   n   2 (n   2)!                                                      

Chuyên đề tổ hợp và xác suất – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn

Tài li  u luy  n thi THPT Qu  c Gia 2017   Th  y Cư  ng      01666658231  Cu  c đ  i gi  ng như cư  i m  t chi  c xe đ  p, đ    gi    th    cân b  ng, b  n ph  i liên t  c di chuy  n      Albert Einstein  1  CÂU T    H  P   X  C SU  T   C  N H  C NH  NG GÌ?  L  i nói đ  u.   Dư  i đây là các nh  n xét   ch    quan   c  a tôi v    các câu   t    h  p      xác su  t   trong đ    thi nh  ng năm  g  n đây .   H  c sinh c  n ôn k    ki  n th  c v    các quy t  c đ  m, các đ  nh nghĩa v    t    h  p      chính h  p      hoán v  ;  tính xác su  t c  a bi  n c      i .   V      m thì nh  ng năm g  n hơn s      m đã gi  m d  n, tăng tính    ng d  ng c  a  xác su  t trong th  c t  . V    m  c đ    khó và ph  c   t  p      m  c tăng nh    so v  i t  ng năm, yêu c  u h  c sinh c  n  tư duy cao, pháp hi  n phương pháp phù h  p đ    xác đ  nh s    ph  n t    không gian m  u và bi  n c  .  Ngoài ra còn các phương trình v    các đ  i lư  ng t    h  p, tìm h    s  , s    h  ng c  a nh    th  c Newton h  c sinh  cũn g c  n lưu ý.  Tài li  u này đư  c chia là hai ph  n chính:  Ph  n A: BÀN V    CÂU T    H  P XÁC SU  T TRONG CÁC Đ    THI ................................ ........................  2  Ph  n B: NH  NG V  N Đ    LIÊN QUAN Đ  N T    H  P XÁC SU  T   ................................ .......................  8  Bài 1: QUI T  C C  NG, QUI T  C NHÂN. ................................ ................................ ..............................  8  Bài 2: HOÁN V  , CH  NH H  P VÀ T    H  P   ................................ ................................ .........................  11  Bài 3: NH    TH  C NEWTON   ................................ ................................ ................................ ..................  22  Bài 4: ÔN T  P PH  N T    H  P   ................................ ................................ ................................ ..............  28  Bà i 5: BI  N C    VÀ XÁC SU  T C  A BI  N C   ................................ ................................ ..................  32  Ph  n A là đ    h  c sinh đ  nh hình đư  c nh  ng gì c  n ôn l  i cho câu T    h  p xác su  t trong các đ    thi g  n nh  t.  Giúp h  c sinh hình dung t  ng quát nh  t v    k    thi, ôn t  p m  t cách hi  u qu  .  Ph  n B ch      o cho s      p c  a h  c sinh. Hãy ch  n   nh  ng ph  n tr  ng tâm nh  t, nh  ng  ph  n mà các b  n còn n  m chưa v  ng đ      c và nghiên c  u bài t  p.  M  i ý ki  n th  c m  c v    tài li  u này xin g  i v      a ch    mail:   cuong11102@gmail.com   ho  c liên l  c theo FB:  https://www.facebook.com/cuong.leeminh   .  Sài Gòn, ngày 30 tháng 8 năm 2016Tài li  u luy  n thi THPT Qu  c Gia 2017   Th  y Cư  ng      01666658231  Cu  c đ  i gi  ng như cư  i m  t chi  c xe đ  p, đ    gi    th    cân b  ng, b  n ph  i liên t  c di chuy  n      Albert Einstein  2  Ph  n A: BÀN V    CÂU T    H  P XÁC SU  T TRONG CÁC Đ    THI  [THPTQG      2016]   (0,5     m)   H  c sinh A thi  t k    b  ng đi  u khi  n đi  n t    m    c  a phòng h  c c  a l  p mình.  B  ng g  m 10   nút, m  i nút đư  c ghi m  t s    t    0 t  i 9 và không có hai nút nào đư  c ghi cùng m  t s  . Đ    m   c  a c  n nh  n liên ti  p 3 nút khác nhau sao cho 3 s    trên nút đó theo th    t    thành m  t dãy s    tăng và có t  ng  b  ng 10. H  c sinh B không bi  t quy t  c m    c  a trên, đã   nh  n ng  u nhiên liên ti  p 3 nút khác nhau trên b  ng    u khi  n. Tính xác su  t đ    B m      c c  a phòng h  c đó.  Nh  n xét:   H  c sinh c  n n  m rõ ki  n th  c v    xác su  t   và công th  c   tính          n A P   n        . Trong đó vi  c xác đ  nh  không gian m  u và s    lư  ng   ph  n t    c  a không gian m  u trong t  ng bài toán r  t là quan tr  ng.      bài này  chúng ta quan sát k    phép th  : “nh  n ng  u nhiên liên ti  p 3 nút khác nhau trên b  ng đi  u khi  n” . Có hai  cách đ    tính s    ph  n t    c  a không gian m  u là:  Cách 1:   S    d  ng quy t  c đ  m:   Nút th    nh  t có 10 cách ch  n, nút th    2 còn 9 cách ch  n, nút th    ba còn 8  cách ch  n. V  y s    ph  n t    c  a    là:      10.9.8   720 n            cách.  Cách 2:   S    d  ng đ  nh nghĩa ch  nh h  p: H  c sinh B ch  n 3 nút trong 10 nút, m  i b    3 nút này có k      n th   t  , th    t    khác nhau thì ra đư  c các cách khác nhau. V  y theo đ  nh nghĩa thì s    ph  n t    trong không gian  m  u là ch  nh h  p ch  p 3 c  a 10 ph  n t    là:      3 10   720 n   A          cách.  S    ph  n t    c  a bi  n c    E: “B m      c c  a phòng h  c” thì ta c  n li  t kê ra và đ  m các trư  ng h  p mà 3 s   trên nút đó theo th    t    thành m  t dãy s    tăng và có t  ng b  ng 10. Đ    li  t kê chính xác, đ  y đ    thì h  c sinh  c  n có cách th  c đ  m   các b    ba: B  t đ  u là b    ba d  ng      0;   ; a b   v  i 0   a   b       và 10 a   b       khi đó ta có các  b    s    sau:               0;1;9 , 0; 2;8 , 0;3;7 , 0; 4;6   . K    ti  p là b    ba d  ng      1;   ; a b   v  i 1   a   b       và 9 a   b       khi      s    sau:            1; 2;7 , 1;3;6 , 1; 4;5   . C    như th    ta có:      2;3;5   .  V  y t  t c    các ph  n t    c  a bi  n c    là:      8 n E      .  Tính xác su  t theo quy t  c:          1 90  n E P   n         .  Lưu ý:   Nhi  u h  c sinh, thí sinh còn nh  m l  n v    ch  nh h  p (có th    t  ) và t    h  p (không th    t  ) d  n đ  n  tính sai v      u. Ngoài ra còn nhi  u b  n li  t kê thi  u các trư  ng h  p đúng trong bi  n c    d  n    n sai k  t qu  .  [THPTQG      2015]   (0,5 đi  m)   T rong đ  t    ng phó d  ch MERS - CoV, S    Y t    thành ph      n ng  u nhiên  3 đ  i phòng ch  ng d  ch cơ đ  ng trong s    5 đ  i c  a trong trung tâm y t    d    phòng thành ph    và 20 đ  i c  a  các trung tâm y t    cơ s        ki  m tra công tác chu  n b  . Tính xác su  t đ    có ít nh  t   2 đ  i c  a các Trung tâm  y t    cơ s      c ch  n.  Nh  n xét:   Phép th         n ng  u nhiên 3 đ  i trong t  ng s    25 đ  i c  a TT Y t    d    phòng thành ph   và c  a TT Y t    các cơ s  .     n đây h  c sinh c  n phân bi  t đư  c r  ng 3 đ  i đư  c ch  n có k      n th    t    hay  khô ng? N  u đ  i v    trí 3 đ  i đư  c ch  n thì có hình thành k  t qu    m  i hay không?.  Rõ ràng trong trư  ng h  p này, theo đ  nh nghĩa thì s    ph  n t    c  a không gian m  u s    là:      3 25 n   C       .  Bi  n c    E: “có ít nh  t 2 đ  i c  a các Trung tâm y t    cơ s      c   ch  n”. Ta th  y t      t 2, n  u hi  u chính  xác thì chúng ta có th    nói là có 2 ho  c có c    3 đ  i đư  c ch  n là đ  i c  a các Trung tâm y t    cơ s  .  Cách 1:     m tr  c ti  p : TH1   có 2 ho  c   TH2   có c    3 đ  i r  i dùng quy t  c c  ng.

Tổ hợp và xác suất